2022-2023全国100所名校卷4 答案

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22.解：(1)取AD的中点H,(1分)因为△ADE为等腰直角三角形，∠AED=90°，所以EH⊥AD,因为平面ADE⊥平面ABCD,且平面ADE∩平面ABCD=AD.所以EH⊥平面ABCD,(3分)设AC,BD的交点为O,连接OF,OH,则OH∥AB,且OH=2AB=1,因为EF∥AB,EF=1,所以EF∥HO且EF=HO.所以四边形EFOH为平行四边形，故FO∥EH且FO=EH,所以FO⊥平面ABCD,(4分)又ACC平面ABCD,从而FO⊥AC,在菱形ABCD中，有AC⊥BD,因为FO∩BD=O,所以AC⊥平面BDF.(5分)(2)以O为原点，以OB,OC,OF分别为x,y,x轴，建立空间直角坐标系，B有A(0,-√3,0)，B(1,0,0),C(0w3,0),F(0,0,1).设G(a,0,c),BG=xBF(0≤A≤1)，取n=(W3,1√)，(9分)BG=(a-1,0,c),BF=(-1,0,1),由已知可得n·AG得a=1-入，c=A,即G(1一A,0,A),(7分)nAG从而AG=(1-A3,A),BC=(-1√5,0).得入2-A=0,(11分)设平面BCF的一个法向量为n=(x,y,),所以A=0或入=1，m·BF=0x十x=0所以AG=|AG=2.(12分)由,得nBC=-x+√3y=0▣求就▣

20.解：(1)由题可得OP⊥平面ACD,OP⊥CD,又四边形ABCD为矩形，.CD⊥AD,又PO∩AD=O,.CD⊥平面APD,又APC平面APD,AP⊥CD.(4分)(2)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，易知C(1w5,0)设P点坐标为(0，y,)(y>0,z>0),由AP=1,PC=3,(5分)y2+x2=1得1+(w/-y)2+x2=3解得y一得-9即P点坐标为(o）(7分)设平面APC的一个法向量n1=(x,y,),m:·AC=0所以m1·AP=0x+√3y=0即令y=1,得m=(-51,-号）(9分)又：=(0,0,1)是平面ACD的一个法向量，iosm=-子(11分),二面角P一AC一D为锐二面角，∴.二面角P-AC-D的余弦值为了(12分)